La statistique étudie certaines caractéristiques : caractères ou variables d'un ensemble fini appellé population. Les éléments de cette population étudiée sont appelés individus.
L'effectifd'une classe ou d'une modalité est le nombre d'individu de cette classe ou de cette modalité. Généralement on note niest l'effectif de la classe n° i ( ou de la modalité xi).
L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes. On le note souvent N, on a alors : N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 50 . En utilisant la notation sigma :
n1, n2, n3, .........,nN sont les effectifs correspondants aux modalités x1, x2, x3, .........,xN., si la série est discrète ,
ou les centres de chaque classe, si la série est continue.
7.2°) Exemple:
Série discrète
Série continue
7.3°) Propriétés de la moyenne:
Considérons une série statistique S de modalités x1, x2, x3, .........,xN affectées des effectifs n1, n2, n3, ... ,nNde moyenne , et la série statistique S' de modalités y1, y2, y3, ... ,yN affectées des même effectifs n1, ... ,nN telle que pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; ... ; N } :
yi = axi + b.
Alors: la moyenne de la série statistique S' est telle que : = a + b.
Soient S1 et S2 deux séries statistiques d'effectifs totaux respectifs N1 et N2 et de moyennes respectives et . Alors la moyenne de la série S regroupant les deux séries S1 et S2est : = [N1+ N2]/(N1 + N2). (cette propriété se généralise).
Pour calculer la variance d'une série statistique on utilise la formule :
Pour calculer la variance , il faut calculer d'abord la moyenne.
8.1.b°)
La variance peut être calculée aussi en utilisant la formule :
Preuve:
8.2°) Ecart-type:
L'écart-type est le nombre noté tel que : .
Le coefficient de dispersion est le rapport écart-type moyenne : /x
8.3°) Propriété de l'écart type :
Considérons une série statistique S de modalités x1, x2, x3,...,xN affectées des effectifs n1, n2, n3, ...,nN d'écart type , et la série statistique S' de modalités y1, y2, y3, ...,yN affectées des mêmes effectifs n1,n2,n3, ...,nN telle que, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; ...; N } :
yi = axi + b.
Alors l'écart type : de la série statistique S' est tel que : = |a|
La médiane est un paramètre de position, qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même nombre d'individus. Ce paramètre est utile pour donner la répartition du caractère étudié, car 50 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la médiane et 50 % une modalité supérieure à la médiane.
9.2°) Exemple
On fait une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen, voici les résultats obtenus en classant ces notes par ordre croissant.
Variable discrète
Utilisons la colonne des effectifs cumulés pour déterminer la médiane : il y a 50 notes, la 25ème note est 9 et la 26ème : 10.
Voici la répartition des notes :
Dans le tableau il n'y a pas de valeur partageant la série statistique en deux groupe de même effectif , ( l'effectif total est pair ) dans ce cas l'intervalle médian est [9;10] et on prendre pour médiane le centre de cet intervalle : 9,5
Variable continue
Si la variable est continue ( regroupement par intervalle des résultats ) le calcul de la médiane se fait autrement :
Utilisons la colonne des effectifs cumulés pour déterminer la médiane : Il y a 50 notes, 50 % de l'effectif total c'est 25, la médiane est ici la note correspondant à l'effectif cumulé 25.
D'après la colonne "effectif cumulé" :
18 personnes ont moins de 8
30 personnes ont moins de 12
La médiane se trouve donc dans l'intervalle [8;12[ ( appelé classe médiane ). On le détermine par interpolation linéaire.
Les points A, M, B sont alignés ce qui se traduit par les droites (AM) et (AB) ont même coefficient directeur (ou on utilise le théorème de Thalès dans le triangle bleu ) :
La médiane est environ 10,33
50 % environ des personnes ont eu moins de 10,33 et 50 % plus de 10,33 .
Soit f une fonction définie sur , [a; b] un intervalle de et c un nombre réel . Quand il n'est pas possible de calculer l'image de c par f , on utilise une interpolation linéaire, cela consiste à remplacer f(c) par g(c) ou g est la fonction affine telle que : g(a) = f(a) et g(b) = f(b).
Cela consiste à remplacer la courbe représentative de f sur [a; b] par la droite (AB) ( On dit que l'on a déterminé f(c) par interpolation linéaire.
11.2°) Exemple:
L'interpolation linéaire est utilisée surtout en statistique
Le mieux est de comprendre sur un exemple :
.
Supposons que l'on étudie la répartition des âges dans une association par exemple. D'après le tableau ci-dessus on a :
14 personnes qui ont un âge compris entre 0 et 10 ans
32 personnes qui ont un âge compris entre 10 et 20 ans
etc...
La colonne des effectifs cumulés croissants nous permet de savoir que :
14 personnes ont un âge inférieur à 10 ans
46 personnes ont un âge inférieur à 20 ans
etc...
Supposons maintenant que l'on a ordonné ces personnes par ordre croissant de leur âge ( du plus jeunes au plus vieux) et que l'on veuille trouver par interpolation l'âge de la 72 ème personne.
On repère à l'aide de la colonne des effectifs cumulés croissants dans quelles tranches d'âge ce trouve cette personne.
La 72 ème personne a entre 20 et 30 ans c'est sûr , mais cela ne suffit pas ...
On considérant que les 55 personnes de la tranche [20;30[ sont réparties de manière proportionnelle :
la 46ème personne a moins de 20 ans, faisons comme si elle en avait 20
la 101 ème personne a moins de 30 ans faisons comme si elle en avait 30
Ces deux schémas ci-dessous devraient vous aider à comprendre :
Utilisons Le théorème de Thalès dans le triangle bleu.